피타고라스의 정리

피타고라스

그리스의 철학자이자 수학자입니다. 이미 알려져 있던 직각삼각형에 대한 원리를 피타고라스의 정리로 공식화한 것으로 유명합니다. 철학자로서 피타고라스는 숫자가 모든 사물의 본질이라고 가르쳤습니다. 즉 숫자를 미덕이나 색깔, 그리고 다른 많은 개념과 신비적으로 결합시켰습니다. 또한 피타고라스는 사람의 영혼은 없어지지 않기 때문에, 죽은 뒤에도 다른 동물이나 사람으로 영혼이 옮겨간다고 가르쳤습니다. 이 생각을 영혼의 윤회라고 합니다. 많은 원시종교에서 이 생각을 찾아볼 수 있고, 지금도 인도의 많은 힌두교 종파들은 영혼의 윤회를 믿습니다. 피타고라스의 사상 중 몇 가지는 피타고라스가 동방을 여행하면서 얻었을 것으로 추측하고 있습니다. 피타고라스는 지구는 둥글며, 태양, 달, 그 밖의 행성들은 그들 자체의 운동을 하고 있다고 생각했습니다. 피타고라스의 제자들은 이 생각을 지구가 중앙에 있는 불을 중심으로 돈다는 데까지 발전시켰습니다. 이 믿음은 뒤에 나타날 코페르니쿠스 체계를 미리 내다본 것입니다. 피타고라스의 젊은 시절은 잘 알려져 있지 않지만, 학자들은 피타고라스를 사모스섬 태생으로 추측하고 있습니다. 기원전 529년경에 피타고라스는 이탈리아의 크로톤(지금의 크로토나)에 살면서 그 도시의 귀족들을 중심으로 피타고라스학파를 만들었습니다. 피타고라스학파의 단원이 귀족이었기 때문에 크로톤의 시민들은 피타고라스학파를 마음에 들어 하지 않았습니다. 크로톤에서 정치적인 반란이 일어났을 때 시민들은 피타고라스학파에 속한 사람들을 대부분 죽였습니다. 피타고라스가 이 폭동이 일어나기 전에 그곳을 떠나서 화를 면했는지, 아니면 학살의 소용돌이 속에서 죽음을 맞이했는지는 아직도 역사의 수수께끼로 남아 있습니다.

 

피타고라스의 정리

 직각삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이를 각각 제곱한 값을 합한 것과 같다는 기하학의 정리입니다. 직각삼각형은 한 각의 크기가 90˚인 삼각형으로, 빗변은 직각을 마주 보는 변입니다. 직각삼각형에서 빗변의 길이를 c, 나머지 두 변의 길이를 a, b라고 하면, 피타고라스의 정리는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있습니다.

      c² = a² + b²

따라서 직각삼각형의 두 변의 길이를 알면, 위의 식에 그 값을 대입해 나머지 한 변의 길이를 알 수 있습니다.

기원- 고대 이집트인들은 경작지의 모서리를 90˚의 각으로 만들려고 했습니다. 그러나 당시에는 오늘날과 같이 좋은 도구가 없었습니다. 그렇다면 그들은 어떻게 90˚를 만들었을까? 기원전 2000년경 이집트인들은 '마법의 3-4-5 삼각형'을 발견했습니다. 그들은 밧줄을 12 부분으로 똑같이 나누어, 각 부분의 경계에 매듭을 지어 표시했습니다. 그리고 막대를 3개 사용해 막대 주위에 밧줄을 둘러 삼각형을 만들었습니다. 그들은 막대를 고정시켜 삼각형의 변의 길이가 각각 3 단위, 4 단위, 5 단위가 되도록 했습니다. 이때 5 단위가 되는 변이 직각삼각형의 빗변에 해당하고, 그것과 마주 보는 각이 직각인 셈입니다. 고대 그리스인들은 이 비법을 이집트인들에게 배웠습니다. 기원전 500~350년에 피타고라스학파의 철학자들은 3-4-5 삼각형에 대해 깊이 연구했습니다. 그들은 삼각형의 세 변을 세 정사각형의 세 변으로 생각했습니다. 정사각형의 넓이는 한 변의 길이를 제곱한 값과 같은데, 3-4-5 삼각형에서 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 다른 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같습니다(5 × 5=3 × 3＋4 ×4). 그 후, 피타고라스학파의 철학자들은 3-4-5 삼각형에 대한 이 규칙이 모든 직각삼각형에서도 성립함을 발견했습니다. 따라서 이 규칙을 피타고라스의 정리라고 부르게 되었습니다.

증명- 기하학에서 피타고라스의 정리는 여러 가지 방법으로 증명되었습니다. 그러나 피타고라스가 사용한 증명 방법이 무엇인지는 아무도 모릅니다. 일부 수학자들은 피타고라스학파가 절개하는 방법으로 이 정리를 증명했다고 믿습니다.

 

직각삼각형에서 빗변을 c, 나머지 두 변을 a, b라고 할 때, 위의 왼쪽 그림은 a+b를 한 변으로 하는 정사각형을 그린 것입니다. 이 정사각형은 4개의 직각삼각형과 색칠한 정사각형 2개로 나누어집니다. 색칠한 정사각형의 넓이는 a² 과 b²입니다. 이 그림을 다시 배열하면 위의 오른쪽 그림과 같이 정사각형의 네 귀퉁이에 직각삼각형이 위치하고 중앙에 정사각형이 있는 그림을 얻을 수 있습니다. 이렇게 새로 생긴 정사각형의 넓이는 c²입니다. 두 그림에서 전체 정사각형의 넓이는 같고, 4개의 직각삼각형은 같은 넓이만큼 차지하므로, 나머지 색칠한 정사각형의 넓이도 서로 같습니다. 따라서 a² + b² = c²입니다.